3 Review(s)

In diesem Buch werden einige Gebiete der algebraischen Topologie, die man heute groesstenteils zum klassischen Bestand rechnet, mit semi- simplizialen Methoden in einheitlicher Weise dargestellt. Der Begriff der semisimplizialen Menge ist dabei von grundlegender Bedeutung. Er wurde um 1950 von EILENBERG und ZILBER bei der Untersuchung der singulaeren Homologietheorie gepraegt. Seine Nuetzlichkeit fuer die alge- braische Topologie, und zwar nicht nur fuer die Homologietheorie, erwies sich bald darauf durch die Arbeiten von DOLD, KAN, MACLANE, MOORE und POSTNIKOV. Durch sie wurde das vorliegende Buch angeregt. Die semisimpliziale Menge steht zwischen der Topologie und der Algebra. Einerseits ist ihre Struktur so "algebraisch", dass man direkt Homologie-und Homotopiegruppen fuer sie definieren und allgemeine Zusammenhaenge zwischen ihnen beweisen kann. Andererseits haben viele topologische Begriffe, wie z. B. die Faserung oder die Homotopie ein semisimpliziales Gegenstueck. Der Zusammenhang zwischen der Topologie und der semisimplizialen Theorie beschraenkt sich nicht auf diese Analogie: Es gibt einen Funktor S von der Kategorie der topo- logischen Raeume in die Kategorie der semisimplizialen Mengen, der die topologischen Begriffe in die entsprechenden semisimplizialen ueber- fuehrt. "Semisimpliziale algebraische Topologie" bedeutet am Beispiel der singulaeren Homologietheorie : Man ordnet dem Raum X seine semi- simpliziale Menge SX zu, definiert die Homologie von SX als singulaere Homologie des Raumes X und folgert die Eigenschaften der singulaeren Homologietheorie aus denen der Homologie semisimplizialer Mengen. In dieser Weise werden die Homotopietheorie, die Homologie-und Kohomologietheorie semisimplizial entwickelt.